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对称正定矩阵

本文译自:https://nhigham.com/2020/07/21/what-is-a-symmetric-positive-definite-matrix/

\(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 为实对称矩阵,当且仅当 \(A = A^T\),且

\[ x^T A X > 0 \quad \forall\ x \neq 0. \]

我们可以发现

\[ \begin{aligned}\ a_{ii} &> 0 &\forall\ i, \\ a_{ij} &< \sqrt{a_{ii}a_{jj}} &\forall\ i \neq j. \end{aligned} \]

当然,这组不等式不是正定对称矩阵的充分条件。

对于一个对称阵,其为正定矩阵的充分条件是对角元素为正且主对角占优,即 \(a_{ii} > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|\ \forall \ i\)